العلاقة الخطية Linear relationship

ما هي العلاقة الخطية Linear relationship

تعتبر العلاقة الخطية مصطلح إحصائي يستخدم لوصف العلاقة بين المتغير والثابت، ويمكن التعبير عن العلاقة الخطية سواء كانت على شكل بياني يتم توصيل المتغير والثابت من خلال خط مستقيم أو معادلة رياضية حيث يتم ضرب المتغير المستقل في معامل الانحدار، ويضاف إليه الثابت الذي يحدد المتغير التابع.  

مفهوم العلاقة الخطية

يوجد هناك ثلاث مجموعات من المعايير الضرورية التي يجب أن تفي بها المعادلة من أجل التأهل لتكون خطية: لا يمكن أن تحتوي المعادلة المعبرة عن العلاقة الخطية على أكثر من متغيرين، حيث يجب أن تكون جميع المتغيرات في المعادلة القوى الأولى، وأيضا يجب تمثيل المعادلة كخط مستقيم.

وتوفر الدوال الخطية في الرياضيات خصائص الإضافة والتجانس، كما تراقب الدوال الخطية أيضا مبدأ التراكب الذي ينص على أن الناتج الصافي لاثنين أو أكثر من المدخلات يساوي مجموع مخرجات المدخلات الفردية.

المعادلة الخطية

رياضيا، العلاقة الخطية هي التي تلبي المعادلة:

y = mx + b

في هذه المعادلة، يكون "x" و "y" متغيرين متصلين بالبارامترات "m" و "b". بيانيا، y = mx + b مخطط بياني في x-y كخط مع ميل "m" وy-intercept "b". يتم حساب الميل "m" من أي نقطتين فرديتين (x1 وy1) و (x2 وy2) على النحو التالي:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

في حين أن التقاطع y "b" هو ببساطة قيمة "y" عند x = 0.

الدوال الخطية

تشبه رياضيا علاقة خطية هي مفهوم دالة خطية، في متغير واحد، يمكن كتابة الدالة الخطية كالتالي:
f(x) = mx + b

وهو مماثل للصيغة المعطاة للعلاقة الخطية فيما عدا أن الرمز f (x يستخدم بدلاً من "y". يتم إجراء هذا الاستبدال لتسليط الضوء على المعنى الذي يتم فيه تعيين x إلى f (x)، بينما يشير استخدام y ببساطة إلى أن x وy هما كميتان، مرتبطان بـ A و B.

في دراسة الجبر الخطي، تمت دراسة خصائص الوظائف الخطية على نطاق واسع وأصبحت صارمة، وبالنظر إلى العدد القياسي C والنقطتين A وB من RN، ينص التعريف الأكثر عمومية للدالة الخطية على ذلك

c*f (A +B) = c*f(A) + c*f(B)

أمثلة

مثال 1: تعتبر العلاقات الخطية شائعة جدا في حياتنا اليومية، لنأخذ مفهوم السرعة على سبيل المثال، تكون المعادلة التي نستخدمها لحساب السرعة – يتم قياس معدل السرعة المستخدمة على مدار الوقت، المعادلة التي نستخدمها لحساب السرعة هي - معدل السرعة الذي يتم نقله مع مرور الوقت، وإذا كان شخص ما في سيارة تويوتا كرايسلر و كانتري صغيرة بيضاء عام 2007 يسافر بين ساكرامنتو وماريزفيل في ولاية كاليفورنيا، على بعد 41.3 ميل على الطريق السريع 99، وتنتهي الرحلة الكاملة لأخذ 40 دقيقة، سوف تسير بسرعة أقل من 60 ميل في الساعة، في حين أن هناك أكثر من متغيرين في هذه المعادلة، فإنها لا تزال معادلة خطية لأن أحد المتغيرات سيكون دائمًا ثابتًا (مسافة).

مثال 2: يمكن أيضاً إيجاد علاقة خطية في مسافة المعادلة = معدل الزمن x، لأن المسافة تمثل رقمًا موجبًا في معظم الحالات - وسيتم التعبير عن هذه العلاقة الخطية في الربع العلوي الأيسر من الرسم البياني باستخدام محور X و Y، إذا كانت الدراجة المصنّعة لشخصين تسافر بمعدل 30 ميلاً في الساعة لمدة 20 ساعة، سينتهي الراكب بالسير لمسافة 600 ميل، ويمثل بشكل بياني مع المسافة على محور Y والوقت على المحور X، وهو خط يتتبع المسافة خلال تلك الـ 20 ساعة سوف ينتقل مباشرة من تقارب المحور X و Y..

مثال 3: لتحويل درجة مئوية إلى فهرنهايت، أو فهرنهايت إلى درجة مئوية، سوف تستخدم المعادلات أدناه، هذه المعادلات تعبر عن علاقة خطية على الرسم البياني.

 

يمكن تسمية بعض العلاقات الخطية بين جسمين بـ "ثابت التناسب"، وتظهر هذه العلاقة كـ Y = kX ، حيث k هي الثابت ، و Y و X هي الكميات المتناسبة.

وعند تحليل البيانات السلوكية، نادرا ما تكون هناك علاقة خطية مثالية بين المتغيرات، ومع ذلك، يمكن العثور على خطوط الاتجاه في البيانات التي تشكل نسخة تقريبية من العلاقة الخطية، على سبيل المثال، يمكنك النظر في بيع الآيس كريم وعدد زيارات المستشفى باعتبارهم متغيرين في اللعب في الرسم البياني والعثور على علاقة خطية بين الاثنين.